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《中公版·2019考研数学：微积分专项辅导（数学三适用）》考试的考生编写的一本专项图书，书中包含了考研数学大纲规定的高等数学的全部考点。

全书共分六章，每章包含六个模块。【学习提要】和【考试要求】简单分析了本章知识点与其他章节之间的联系以及考试大纲对各考点的具体要求。【本章知识框架图】再现了本章知识网络。【基础知识讲解】以浅显的角度切入，详细地讲解了本章涉及的基本概念、重要定理和性质，核心考点附有二维码，考生扫码可以听微课。【典型例题与方法技巧】对各考点涉及的题型做了细致的分类。【本章同步练习题】与【同步练习题答案解析】相配套，筛选了适量习题，供考生自测学习效果，个别题目附有二维码，考生扫码可听题目视频讲解。

章函数、极限、连续

学习提要

考试要求

本章知识框架图

基础知识讲解

一、函数

二、极限

三、连续

典型例题与方法技巧

一、函数

二、极限

三、函数连续性与间断点

本章同步练习题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

同步练习题答案解析

第二章一元函数微分学

学习提要

考试要求

本章知识框架图

基础知识讲解

一、导数与微分

二、微分中值定理

三、导数的应用

典型例题与方法技巧

一、导数与微分

二、微分中值定理

三、导数的应用

本章同步练习题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

同步练习题答案解析

第三章一元函数积分学

学习提要

考试要求

本章知识框架图

基础知识讲解

一、不定积分

二、定积分

三、反常积分

典型例题与方法技巧

一、不定积分

二、定积分

三、反常积分

本章同步练习题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

同步练习题答案解析

第四章多元函数微积分学

学习提要

考试要求

本章知识框架图

基础知识讲解

一、多元函数的相关概念

二、偏导数

三、全微分

四、多元函数的极值与值

五、二重积分

典型例题与方法技巧

一、多元函数的相关概念

二、多元函数的偏导数

三、多元函数全微分

四、多元函数的极值与值

五、二重积分

本章同步练习题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

同步练习题答案解析

第五章无穷级数

学习提要

考试要求

本章知识框架图

基础知识讲解

一、常数项级数

二、幂级数

典型例题与方法技巧

一、常数项级数

二、幂级数

本章同步练习题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

同步练习题答案解析

第六章常微分方程与差分方程

学习提要

考试要求

本章知识框架图

基础知识讲解

一、微分方程的相关定义

二、一阶微分方程

三、二阶常微分方程

四、差分方程

五、微分方程求解简单的经济应用问题

典型例题与方法技巧

一、一阶微分方程

二、二阶常微分方程

三、一阶差分方程

四、微分方程求解简单的经济应用问题

本章同步练习题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

同步练习题答案解析

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　　函数是微积分的主要研究对象，极限是微积分的理论基础，函数的连续性是函数可导与可积的重要条件，所以函数、极限和连续都是微积分的基础。本章是学好微积分的基石，这部分知识在考研真题中通常会出现两道小题或一道大题，且由于后面各章节中多数考点会涉及函数、连续的概念，并且在综合题中常用到极限和闭区间上连续函数的性质，因此考生在复习时要灵活掌握，在了解理论的基础上融会贯通。

　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。

　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

　　5.了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。

　　6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

　　7.理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。

　　8.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

　　9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、值和小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。

　　一、函数

　　（一）函数的概念及表示法

　　1.函数的概念

　　设数集DR，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，记为y=f(x)，x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域。

　　2.函数的表示法

　　函数的表示法有：解析法（公式法）、表格法、图形法。

　　（二）函数的性质

　　1.单调性

　　设函数f(x)的定义域为D,(a,b)D,则有下述结论。

　　（1）若对任意的x1,x2∈(a,b),当x1

f(x2))，则称f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）。

　　（2）若对任意的x1,x2∈(a,b)，当x1

　　判定方法：①f(x1)与f(x2)作差后与0比较（或f(x1)与f(x2)作商后与1比较）；②可导函数f(x)单调不减（不增）的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)。

　　2.有界性

　　(1)若存在常数M，使f(x)≤M,x∈D，则称f(x)有上界。

　　(2)若存在常数m,使f(x)≥m,x∈D,则称f(x)有下界。

　　(3)若f(x)既有上界又有下界，则称f(x)有界。

　　结论：①f(x)有界的充要条件为存在常数M＞0，使f(x)≤M;②闭区间上的连续函数一定有界（有界性定理）；③函数有极限（收敛）局部有界；④有界是可积的必要条件（可积一定有界，反之不然）。

　　注：可积一定有界只是针对定积分而言的。

　　3.奇偶性

　　若f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。

　　注：f(x)-f(-x)为奇函数，f(x)+f(-x)为偶函数。

　　结论：①若f(x)为可积的奇函数，则∫a-af(x)dx=0；②若f(x)为可积的偶函数，则∫a-af(x)dx=2∫a0f(x)dx；③若f(x)为一般可积函数，则∫a-af(x)dx=∫a0［f(x)+f(-x)］dx；

　　④可导的奇（偶）函数每求一次导，其奇偶性发生一次改变（如F（x）是连续的奇函数，则F′（x）为偶函数）。

　　注：当遇到积分的上下限互为相反数时，应优先考虑利用被积函数的奇偶性简化计算。

　　4.周期性

　　若存在T≠0，使f(x+T)=f(x)，则称f(x)是以T为周期的周期函数。

　　结论：若T为f(x)的周期，那么kT也是f(x)的周期,k=1,2,3,…。

　　注：周期函数未必有小正周期。

　　结论：①可导的周期函数的导函数仍然是周期函数，且周期不变；②若f(x)是以T为周期的连续函数，则∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx。

　　（三）常见函数类型

　　1.基本初等函数

　　幂函数：y=xμ(μ∈R是常数)。

　　指数函数：y=ax(a>0且a≠1)。

　　对数函数:y=logax(a>0且a≠1，特别当a=e时，记为y=lnx)。

　　三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等。

　　反三角函数：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等。

　　2.初等函数

　　由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数，例如y=sinx+ex。

　　3.反函数

　　设函数y=f(x)的定义域是D，值域是W。如果对于W内的每一个y，由y=f（x）可以确定的x∈D,这样在W上定义了一个函数，称为y=f(x)的反函数，记为x=f-1(y),y∈W。

　　习惯上自变量用x表示，因变量用y表示。一般的，y=f(x),x∈D的反函数记成y=f－1(x),x∈W。在同一坐标系中，y=f(x)和它的反函数y=f－1(x)具有相同的单调性，且它们的图形关于直线y=x是对称的。

　　4.隐函数

　　如果变量x,y满足方程F(x,y)=0，在给定条件下，当x取某区间的任一值时，相应地总有满足该方程的的y值与之对应，则说明方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。

　　5.复合函数

　　设函数y=f(u)的定义域是Df,函数u=φ(x)的定义域是Dφ,值域是Rφ，且RφDf，则称函数y=f［φ(x)］为复合函数，它的定义域是{xx∈Dφ},u称为中间变量，x称为自变量。

　　6.分段函数

　　用解析法表示的函数，若在其定义域D的各个不相交的子集上，分别用不同的式子表示，则该函数称为分段函数。

　　常见的分段函数有以下几种。

　　（1）值函数y=x=x,x≥0,

　　-x,x　　（2）值函数max{f1(x),f2(x)}=f1(x),{xf1(x)≥f2(x)},

　　f2(x),{xf1(x)

　　小值函数min{f1(x),f2(x)}=f2(x),{xf1(x)≥f2(x)},

　　f1(x),{xf1(x)

　　（3）取整函数［x］或intx，表示不超过x的整数。

　　（4）符号函数y=sgnx=1,x>0,

　　0,x=0,

　　-1,x　　（5）狄利克雷（Dirichlet）函数y=D(x)=1,x是有理数,

　　0，x是无理数。

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